Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} + 6 y^{5}}{x^{5} + y^{6}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x^{4} + 6 y^{5}$ y $g (y) = x^{5} + y^{6}$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [x^{4} + 6 y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 6 y^{5}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{4}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (0 + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [6 y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [6 y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 y^{5}$ con respecto a $y$ es $6 \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (6 \frac{d}{d y} [y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.5

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{5} + y^{6}$ .

$\frac{6 \cdot (x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{6 (x^{5} + y^{6}) (5 y^{4}) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $5$ por $6$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + y^{6}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{6}])}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.9

Como $x^{5}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{5}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (0 + \frac{d}{d y} [y^{6}])}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (6 y^{5})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 2.12

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(30 x^{5} + 30 y^{6}) y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} + (- 6 x^{4} - 6 (6 y^{5})) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $y^{6}$ por $y^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.1.1

Mueve $y^{4}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 (y^{4} y^{6}) - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{4 + 6} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.1.1.3

Suma $4$ y $6$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $y^{5}$ por $y^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1.2.1

Mueve $y^{5}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 (y^{5} y^{5}))}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5 + 5})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.1.2.3

Suma $5$ y $5$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{10})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $6$ por $- 6$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 36 y^{10}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Resta $36 y^{10}$ de $30 y^{10}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} - 6 y^{10} - 6 x^{4} y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{- 6 y^{10} + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $6 y^{4}$ de $- 6 y^{10} + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $6 y^{4}$ de $- 6 y^{10}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.7.2

Factoriza $6 y^{4}$ de $30 x^{5} y^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5}) - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.7.3

Factoriza $6 y^{4}$ de $- 6 y^{5} x^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.7.4

Factoriza $6 y^{4}$ de $6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5})$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.7.5

Factoriza $6 y^{4}$ de $6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5} - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $- y^{6}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6}) + 5 x^{5} - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6}) - (- 5 x^{5}) - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.10

Factoriza $- 1$ de $- (y^{6}) - (- 5 x^{5})$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5}) - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.11

Factoriza $- 1$ de $- y x^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5}) - (y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.12

Factoriza $- 1$ de $- (y^{6} - 5 x^{5}) - (y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.13

Reescribe $- (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})$ como $- 1 (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- 1 (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(6 y^{4}) (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Paso 3.15

Reordena los factores en $- \frac{(6 y^{4}) (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$ .

$- \frac{6 y^{4} (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$