Cálculo Ejemplos

$\frac{6 \tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}$

Paso 1

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{6 \tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{7 + 7 \sec (t)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 7 + 7 \sec (t)$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [7 + 7 \sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\tan (t)$ con respecto a $t$ es $\sec^{2} (t)$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [7 + 7 \sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + 7 \sec (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [7 \sec (t)]$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [7 \sec (t)])}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 4.2

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [7 \sec (t)])}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [7 \sec (t)]$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [7 \sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 4.4

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 \sec (t)$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (7 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 4.5

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 6

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 7

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$6 \frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 10

Combina $6$ y $\frac{(7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$ .

$\frac{6 ((7 + 7 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (7 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (7 \sec^{2} (t)) + 6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Factoriza $6 \sec (t)$ de $6 (7 \sec^{2} (t)) + 6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

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Paso 11.3.1.1

Factoriza $6 \sec (t)$ de $6 (7 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.1.2

Factoriza $6 \sec (t)$ de $6 (7 \sec (t) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) (7 \sec^{2} (t)) + 6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.1.3

Factoriza $6 \sec (t)$ de $6 (- 7 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) (7 \sec^{2} (t)) + 6 \sec (t) (- 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.1.4

Factoriza $6 \sec (t)$ de $6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) (7 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \sec^{2} (t)) + 6 \sec (t) (- 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.1.5

Factoriza $6 \sec (t)$ de $6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \sec^{2} (t)) + 6 \sec (t) (- 7 \tan^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \sec^{2} (t) - 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.2

Factoriza $7$ de $7 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 (\sec^{2} (t)) - 7 \tan^{2} (t))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.3

Factoriza $7$ de $- 7 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 (\sec^{2} (t)) + 7 (- \tan^{2} (t)))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.4

Factoriza $7$ de $7 (\sec^{2} (t)) + 7 (- \tan^{2} (t))$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7 \cdot 1)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t) + 7)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \sec (t) (7 \sec (t)) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.8

Multiplica $6 \sec (t) (7 \sec (t))$ .

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Paso 11.3.8.1

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{42 \sec (t) \sec (t) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.8.2

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{42 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.8.3

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{42 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{42 {\sec (t)}^{1 + 1} + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{42 \sec^{2} (t) + 6 \sec (t) \cdot 7}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.3.9

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{42 \sec^{2} (t) + 42 \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.4

Factoriza $42 \sec (t)$ de $42 \sec^{2} (t) + 42 \sec (t)$ .

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Paso 11.4.1

Factoriza $42 \sec (t)$ de $42 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t)) + 42 \sec (t)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.4.2

Factoriza $42 \sec (t)$ de $42 \sec (t)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t)) + 42 \sec (t) (1)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.4.3

Factoriza $42 \sec (t)$ de $42 \sec (t) (\sec (t)) + 42 \sec (t) (1)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(7 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica el denominador.

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Paso 11.5.1

Factoriza $7$ de $7 + 7 \sec (t)$ .

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Paso 11.5.1.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(7 \cdot 1 + 7 \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.5.1.2

Factoriza $7$ de $7 \cdot 1 + 7 \sec (t)$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(7 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

Paso 11.5.2

Aplica la regla del producto a $7 (1 + \sec (t))$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{7^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.5.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{42 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{49 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.6

Cancela el factor común de $42$ y $49$ .

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Paso 11.6.1

Factoriza $7$ de $42 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ .

$\frac{7 (6 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{49 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.6.2.1

Factoriza $7$ de $49 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{7 (6 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{7 (7 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Paso 11.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 (6 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{7 (7 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Paso 11.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{7 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.7

Cancela el factor común de $\sec (t) + 1$ y ${(1 + \sec (t))}^{2}$ .

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Paso 11.7.1

Reordena los términos.

$\frac{6 \sec (t) (1 + \sec (t))}{7 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.7.2

Factoriza $1 + \sec (t)$ de $6 \sec (t) (1 + \sec (t))$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (6 \sec (t))}{7 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 11.7.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.7.3.1

Factoriza $1 + \sec (t)$ de $7 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (6 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (7 (1 + \sec (t)))}$

Paso 11.7.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sec (t)) (6 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (7 (1 + \sec (t)))}$

Paso 11.7.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \sec (t)}{7 (1 + \sec (t))}$