Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x^{7}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x^{7}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{7}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Combina $x^{7}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $x^{7}$ y $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{7}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{6}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.2.2.5

Divide $x^{6}$ por $1$ .

$\frac{x^{6} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{x^{6} - \ln (x) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Paso 3.4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{x^{6} - 7 \ln (x) x^{6}}{x^{14}}$

Paso 3.4.4.2

Factoriza $x^{6}$ de $x^{6} - 7 \ln (x) x^{6}$ .

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Paso 3.4.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{6} \cdot 1 - 7 \ln (x) x^{6}}{x^{14}}$

Paso 3.4.4.2.2

Factoriza $x^{6}$ de $- 7 \ln (x) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot 1 + x^{6} (- 7 \ln (x))}{x^{14}}$

Paso 3.4.4.2.3

Factoriza $x^{6}$ de $x^{6} \cdot 1 + x^{6} (- 7 \ln (x))$ .

$\frac{x^{6} (1 - 7 \ln (x))}{x^{14}}$

Paso 3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.1

Factoriza $x^{6}$ de $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (1 - 7 \ln (x))}{x^{6} x^{8}}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{6} (1 - 7 \ln (x))}{x^{6} x^{8}}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 7 \ln (x)}{x^{8}}$

Paso 3.6

Simplifica $- 7 \ln (x)$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{7})}{x^{8}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1 - \ln (x^{7})}{x^{8}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x^{7})}{x^{8}}$