Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{y} = 1$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.9

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.11

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.12

Combina $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 3.14

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Paso 4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Obtén un factor común $y^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Sustituye $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Paso 6.3

Resuelve $u$

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Paso 6.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1.1

Aplica la regla del producto a $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Paso 6.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Paso 6.3.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Paso 6.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Paso 6.3.1.3

Simplifica.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Paso 6.3.2

Resta $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Paso 6.4

Sustituye $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Paso 6.5

Resta $y^{\frac{1}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.6

Multiplica ambos lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.1.1

Simplifica $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.7.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.7.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.7.2.1

Simplifica $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.7.2.1.2

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.2.1.2.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.7.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 6.7.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Paso 6.7.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Paso 6.7.2.1.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Paso 6.7.2.1.3

Simplifica $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Paso 6.7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x y' = - 2 y$

Paso 6.8

Divide cada término en $x y' = - 2 y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.8.1

Divide cada término en $x y' = - 2 y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Paso 6.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Paso 6.8.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Paso 6.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$