Cálculo Ejemplos

${(2 + 3 x)}^{4} = x y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(2 + 3 x)}^{4}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 + 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + 3 x$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \cdot 1$

Paso 2.2.7

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$12 {(2 + 3 x)}^{3} = y^{2} + 2 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Paso 5.2

Simplifica $12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Reescribe.

$y^{2} + 2 x y y' = 0 + 0 + 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Paso 5.2.3

Usa el teorema del binomio.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 4 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 12 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.4

Multiplica $3$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.6

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (3^{2} x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (9 x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.8

Multiplica $9$ por $6$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + {(3 x)}^{3})$

Paso 5.2.4.1.9

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 3^{3} x^{3})$

Paso 5.2.4.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 27 x^{3})$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 \cdot 8 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Paso 5.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Multiplica $12$ por $8$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Paso 5.2.5.2

Multiplica $36$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Paso 5.2.5.3

Multiplica $54$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 12 (27 x^{3})$

Paso 5.2.5.4

Multiplica $27$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3}$

Paso 5.3

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ por $2 x y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $96$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $96$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $432$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $432 x$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.4

Cancela el factor común de $648$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $648 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x^{2}}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.5.1

Factoriza $x$ de $324 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.5.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x (y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.6

Cancela el factor común de $324$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.6.1

Factoriza $2$ de $324 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{3}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.7

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.7.1

Factoriza $x$ de $162 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.7.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.8

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.8.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Paso 5.4.3.1.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.8.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Paso 5.4.3.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Paso 5.4.3.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Paso 5.4.3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$