Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{2}{3} {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $n$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{0} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{5})}^{0}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{1^{0}}{5^{0}}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1^{0}}{5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.5

Combinar.

$\frac{2 \cdot 1^{0}}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.10

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.11

Simplifica.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.12

Multiplica $\frac{2}{3} (- \frac{1}{5})$ .

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Paso 2.1.12.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.12.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.13

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.14

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.14.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.14.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.16

Multiplica $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{2}}{5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.17

Combinar.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1^{2}}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.19

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.20

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.21

Multiplica $3$ por $25$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Paso 2.1.22

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Paso 2.1.23

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.23.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3})$

Paso 2.1.23.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Paso 2.1.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Paso 2.1.25

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5^{3}})$

Paso 2.1.26

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

Paso 2.1.27

Multiplica $\frac{2}{3} (- \frac{1}{125})$ .

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Paso 2.1.27.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{3 \cdot 125}$

Paso 2.1.27.2

Multiplica $3$ por $125$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{125}{125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{2}{15}$ por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - (\frac{2}{15} \cdot \frac{25}{25}) + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{2}{15}$ por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{2}{75}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{2}{75}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.7

Multiplica $3$ por $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.8

Multiplica $15$ por $25$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $75 \cdot 5$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 75} - \frac{2}{375}$

Paso 2.2.10

Multiplica $5$ por $75$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{375} - \frac{2}{375}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 125 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $125$ .

$\frac{250 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$\frac{250 - 50 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{250 - 50 + 10 - 2}{375}$

Paso 2.5

Resta $50$ de $250$ .

$\frac{200 + 10 - 2}{375}$

Paso 2.6

Suma $200$ y $10$ .

$\frac{210 - 2}{375}$

Paso 2.7

Resta $2$ de $210$ .

$\frac{208}{375}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{208}{375}$

Forma decimal:

$0.554\overline{6}$