Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 3}^{20} n (n + 1)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n \cdot n + n \cdot 1$

Paso 1.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1$

Paso 1.3

Multiplica $n$ por $1$ .

$n^{2} + n$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n$

Paso 2

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $n$ sea igual a $1$ .

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n - \sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$

Paso 3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n$ .

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Paso 3.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + \sum_{n = 1}^{20} n$

Paso 3.2

Evalúa $\sum_{n = 1}^{20} n^{2}$ .

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Paso 3.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $20$ y $6$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Paso 3.2.3.2.2

Suma $20$ y $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Paso 3.2.3.2.3

Multiplica $10$ por $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Paso 3.2.3.2.4

Suma $40$ y $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Paso 3.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.3.1

Multiplica $210$ por $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Paso 3.2.3.3.2

Divide $8610$ por $3$ .

$2870$

Paso 3.3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{20} n$ .

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Paso 3.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{20 (20 + 1)}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $20$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $20 (20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 (1)}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 (20 + 1)}{1}$

Paso 3.3.3.1.2.4

Divide $10 (20 + 1)$ por $1$ .

$10 (20 + 1)$

Paso 3.3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.2.1

Suma $20$ y $1$ .

$10 \cdot 21$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $10$ por $21$ .

$210$

Paso 3.4

Suma los resultados de las sumas.

$2870 + 210$

Paso 3.5

Suma $2870$ y $210$ .

$3080$

Paso 4

Evalúa $\sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$ .

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Paso 4.1

Expande la serie para cada valor de $n$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 2$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 2$

Paso 4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2 + 2^{2} + 2$

Paso 4.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 + 4 + 2$

Paso 4.2.4

Suma $4$ y $2$ .

$2 + 6$

Paso 4.2.5

Suma $2$ y $6$ .

$8$

Paso 5

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$3080 - 8$

Paso 6

Resta $8$ de $3080$ .

$3072$