Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[4]{\frac{4 x}{4 x - 3}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{\frac{4 x}{4 x - 3}}$ como ${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ y $g (x) = \frac{4 x}{4 x - 3}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{4 x}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{4 x}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.6

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{4 x - 3}]$

Paso 4.6.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{4 x - 3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} (4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}])$

Paso 4.6.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.6.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Paso 4.6.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.6.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4} {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Paso 4.6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 {(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Paso 4.6.3.3

Multiplica ${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}}$ por $1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x - 3}]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 x - 3$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8

Diferencia.

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Paso 4.8.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{(4 x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.2

Multiplica $4 x - 3$ por $1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.6

Multiplica $4$ por $1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.8.8.1

Suma $4$ y $0$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - x \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.8.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{4 x - 3 - 4 x}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.8.3

Resta $4 x$ de $4 x$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{0 - 3}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.8.8.4.1

Resta $3$ de $0$ .

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} \frac{- 3}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.8.8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(\frac{4 x}{4 x - 3})}^{- \frac{3}{4}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

${(\frac{4 x - 3}{4 x})}^{\frac{3}{4}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Paso 4.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{4 x - 3}{4 x}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{{(4 x)}^{\frac{3}{4}}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Paso 4.9.3

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}}} (- \frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}})$

Paso 4.9.4

Combina los términos.

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Paso 4.9.4.1

Multiplica $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$ por $\frac{3}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{{(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}} \cdot 3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.9.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2}}$

Paso 4.9.4.3

Mueve ${(4 x - 3)}^{\frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}}}$

Paso 4.9.4.4

Multiplica ${(4 x - 3)}^{2}$ por ${(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.9.4.4.1

Mueve ${(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} ({(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{2})}$

Paso 4.9.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4} + 2}}$

Paso 4.9.4.4.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}}}$

Paso 4.9.4.4.4

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{- \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}}}$

Paso 4.9.4.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}}}$

Paso 4.9.4.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.4.4.6.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{- 3 + 8}{4}}}$

Paso 4.9.4.4.6.2

Suma $- 3$ y $8$ .

$- \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(4 x - 3)}^{\frac{5}{4}}}$