Cálculo Ejemplos

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.5

Combina $y^{3}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ y $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.7

Mueve $4$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.8.2

Divide $y^{3} y'$ por $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{8 y^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $y^{2}$ por $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.9

Resta $2 y y'$ de $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 3.3.10

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Paso 3.3.11

Cancela el factor común de $y$ y $y^{4}$ .

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Paso 3.3.11.1

Factoriza $y$ de $- 2 y y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Paso 3.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.11.2.1

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Paso 3.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Paso 3.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Paso 3.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

Paso 3.3.13

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

Paso 3.3.14

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 3.3.14.1

Factoriza $2$ de $2 y'$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

Paso 3.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.14.2.1

Factoriza $2$ de $8 y^{3}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

Paso 3.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

Paso 3.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ .

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 4 y^{3}, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 y^{3}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ por $4 y^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ por $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $y^{3}$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2.1.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2.1.3

Cancela el factor común de $4 y^{3}$ .

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Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ al numerador.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $4 y^{3}$ por $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $4 y^{6} y' - y'$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $y'$ de $4 y^{6} y'$ .

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $y'$ de $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

Paso 5.4.2

Reescribe $4 y^{6}$ como ${(2 y^{3})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

Paso 5.4.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

Paso 5.4.4

Factoriza.

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Paso 5.4.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 y^{3}$ y $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

Paso 5.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

Paso 5.4.5

Divide cada término en $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ por $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.5.1

Divide cada término en $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ por $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Paso 5.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.5.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{3} + 1$ .

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Paso 5.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Paso 5.4.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Paso 5.4.5.2.2

Cancela el factor común de $2 y^{3} - 1$ .

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Paso 5.4.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Paso 5.4.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$