Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + x}$ como ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + x$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

Paso 3.4.2

Reordena los factores de $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Paso 3.4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 3.4.6.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

Paso 3.4.6.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

Paso 3.4.6.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

Paso 3.4.6.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

Paso 3.4.6.2

Aplica la regla del producto a $x (x + 1)$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $- 2 x - 1$ por $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.10

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.11

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$