Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5}{3} k$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $k$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{11}{3} - \frac{k \cdot 5}{3}$

Paso 1.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $k$ .

$\frac{11}{3} - \frac{5 k}{3}$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5 k}{3}$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5 k}{3} = \sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} + \sum_{k = 1}^{25} - \frac{5 k}{3}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{11}{3}) (25)$

Paso 3.3

Multiplica $(\frac{11}{3}) (25)$ .

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{11}{3}$ y $25$ .

$\frac{11 \cdot 25}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $11$ por $25$ .

$\frac{275}{3}$

Paso 4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{25} - \frac{5 k}{3}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $- \frac{5}{3}$ fuera de la suma.

$(- \frac{5}{3}) \sum_{k = 1}^{25} k$

Paso 4.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{5}{3}) (\frac{25 (25 + 1)}{2})$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Suma $25$ y $1$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{25 \cdot 26}{2}$

Paso 4.4.2

Multiplica $25$ por $26$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{650}{2}$

Paso 4.4.3

Divide $650$ por $2$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 325$

Paso 4.4.4

Multiplica $- \frac{5}{3} \cdot 325$ .

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $325$ por $- 1$ .

$- 325 (\frac{5}{3})$

Paso 4.4.4.2

Combina $- 325$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 325 \cdot 5}{3}$

Paso 4.4.4.3

Multiplica $- 325$ por $5$ .

$\frac{- 1625}{3}$

Paso 4.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1625}{3}$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{275}{3} - \frac{1625}{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{275 - 1625}{3}$

Paso 6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1

Resta $1625$ de $275$ .

$\frac{- 1350}{3}$

Paso 6.2.2

Divide $- 1350$ por $3$ .

$- 450$