Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} + 2 \cos (x) - 4 e^{4 x} + π$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 2 \cos (x) - 4 e^{4 x} + π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 x + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 x + 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 x - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 4.7

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [π]$

Paso 5

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x} + 0$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Suma $6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x}$ y $0$ .

$6 x - 2 \sin (x) - 16 e^{4 x}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$6 x - 16 e^{4 x} - 2 \sin (x)$