Cálculo Ejemplos

$y^{2} x^{3} = y^{5} + 2 y^{3} - 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{5} + 2 y^{3} - 2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = x^{3}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y^{2} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 x^{3} y y'$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{5} + 2 y^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 y^{4} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + 0$

Paso 3.4.2

Suma $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$ y $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y' = 5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' = 3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Paso 5.2

Resta $2 x^{3} y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y y'$ de $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y y'$ de $5 y^{4} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y y'$ de $- 2 x^{3} y y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3.4

Factoriza $y y'$ de $y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y)$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3.5

Factoriza $y y'$ de $y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3})$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ por $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ por $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ .

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $y$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$