Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x} (3 x^{2} - 2 x^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x^{3}] + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{x} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{x} (6 x - 2 (3 x^{2})) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Paso 4.3

Suma $e^{x} (- 6 x^{2})$ y $3 x^{2} e^{x}$ .

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Paso 4.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 6 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Paso 4.3.2

Suma $- 6 x^{2} e^{x}$ y $3 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$ .

$6 x e^{x} - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$