Cálculo Ejemplos

$3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Paso 1

Escribe $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ como una función.

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.12

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.13

Multiplica $\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.14

Mueve ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.15

Combina $3$ y $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.16

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.17

Factoriza $3$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.18.1

Factoriza $3$ de $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.18.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.18.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 3.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{{(x - 4)}^{1}}}$

Paso 5.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$

Paso 5.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x - 4} = 0$

Paso 5.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x - 4}}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Simplifica ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 4)}^{1} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x - 4 = 0^{3}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \frac{2}{{((3) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Resta $4$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 7.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

Paso 7.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

Paso 7.2.2

Divide $2$ por $- 1$ .

$f' (3) = - 2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 7.3

En $x = 3$ la derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 4)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \frac{2}{{((5) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1

Resta $4$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{2}{1^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (5) = \frac{2}{1}$

Paso 8.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$f' (5) = 2$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(4, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 4)$

Paso 10