Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{8 x - 8}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 8 x - 8$ .

$\frac{(8 x - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(8 x - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica $8 x - 8$ por $1$ .

$\frac{8 x - 8 - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{8 x - 8 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 + 0)}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.8.1

Suma $8$ y $0$ .

$\frac{8 x - 8 - x \cdot 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{8 x - 8 - 8 x}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.8.3

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{0 - 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.4.1

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 2.8.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Factoriza $8$ de $8 x - 8$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$- \frac{8}{{(8 (x) - 8)}^{2}}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$- \frac{8}{{(8 (x) + 8 (- 1))}^{2}}$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $8$ de $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$- \frac{8}{{(8 (x - 1))}^{2}}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a $8 (x - 1)$ .

$- \frac{8}{8^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8}{64 {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $8$ y $64$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$- \frac{8 (1)}{64 {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $8$ de $64 {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (1)}{8 (8 {(x - 1)}^{2})}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{8 \cdot 1}{8 (8 {(x - 1)}^{2})}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}}$