Cálculo Ejemplos

$\frac{(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 1

Resta $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 2

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$d \int \frac{- 2 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$d \int \frac{- 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int \frac{- 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 6

Suma $2$ y $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 11

Divide $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ por $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Paso 11.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Paso 11.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$

Paso 11.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Paso 11.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Paso 11.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

Paso 11.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Paso 11.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Paso 11.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

					-	$2 x$	-	$6$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$
					+	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$6 x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
							-	$6 x^{2}$	+	$24 x$	-	$24$

Paso 11.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 24 x - 24$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

Paso 11.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

$17 x$

$24$

Paso 11.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$d \int - 2 x - 6 + \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$d (\int - 2 x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Paso 13

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$d (- 2 \int x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Paso 15

Aplica la regla de la constante.

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Paso 16

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Paso 17

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 17.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 17.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 17.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Paso 17.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 17.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 17.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{- 17 x + 24}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 17.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 17.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 17.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 17.1.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 17.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 17.1.5.2

Divide $- 17 x + 24$ por $1$ .

$- 17 x + 24 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 17.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.6.1

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 17.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$- 17 x + 24 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 17.1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 17.1.6.2

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 17.1.6.2.1

Factoriza $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Paso 17.1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 17.1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 17.1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- 17 x + 24 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Paso 17.1.6.2.2.4

Divide $B (x - 2)$ por $1$ .

$- 17 x + 24 = A + B (x - 2)$

Paso 17.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 17 x + 24 = A + B x + B \cdot - 2$

Paso 17.1.6.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$- 17 x + 24 = A + B x - 2 B$

Paso 17.1.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$- 17 x + 24 = B x + A - 2 B$

Paso 17.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 17.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 17 = B$

Paso 17.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$24 = A - 2 B$

Paso 17.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

Paso 17.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 17.3.1

Reescribe la ecuación como $B = - 17$ .

$B = - 17$

$24 = A - 2 B$

Paso 17.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 17$ en cada ecuación.

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Paso 17.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $24 = A - 2 B$ por $- 17$ .

$24 = A - 2 \cdot - 17$

$B = - 17$

Paso 17.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 17$ .

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

Paso 17.3.3

Resuelve $A$ en $24 = A + 34$ .

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Paso 17.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A + 34 = 24$ .

$A + 34 = 24$

$B = - 17$

Paso 17.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 17.3.3.2.1

Resta $34$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 24 - 34$

$B = - 17$

Paso 17.3.3.2.2

Resta $34$ de $24$ .

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

Paso 17.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = - 10 B = - 17$

Paso 17.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - 10, B = - 17$

Paso 17.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Paso 17.5

Simplifica.

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Paso 17.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Paso 17.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 18

Divide la única integral en varias integrales.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 19

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - \int \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 20

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - (10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 21

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 22

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 22.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 22.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 22.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 22.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 22.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 22.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 22.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 23

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 23.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 23.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 23.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 23.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 24

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 25

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{17}{x - 2} d x)$

Paso 26

Dado que $17$ es constante con respecto a $x$ , mueve $17$ fuera de la integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (17 \int \frac{1}{x - 2} d x))$

Paso 27

Multiplica $17$ por $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Paso 28

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 28.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 28.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 28.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 28.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 28.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 28.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 28.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 29

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 30

Simplifica.

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{u_{1}} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 31

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 31.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 31.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| x - 2 |)) + C$