Cálculo Ejemplos

$25 x^{2} - 4 y^{2} = 400$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Divide cada término por $400$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{25 x^{2}}{400} - \frac{4 y^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{100} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(10)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + {(10)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + 100}$

Paso 4.3.3

Suma $16$ y $100$ .

$\sqrt{116}$

Paso 4.3.4

Reescribe $116$ como $2^{2} \cdot 29$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $4$ de $116$ .

$\sqrt{4 (29)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 29}$

Paso 4.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{29}$

Paso 5

Obtén los focos.

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Paso 5.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 \sqrt{29}, 0)$

Paso 5.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 5.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2 \sqrt{29}, 0)$

Paso 5.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2 \sqrt{29}, 0), (- 2 \sqrt{29}, 0)$

Paso 6