Cálculo Ejemplos

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{1 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 5.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Paso 5.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 11

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 13

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 15.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Paso 16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Paso 16.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Paso 16.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 16.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Paso 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$