Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.4

Simplifica.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.11

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.11.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.1.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

Paso 2.1.1.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x + 1}$

Paso 2.1.1.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

Paso 2.1.1.15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.16

Combina $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ y $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mediante un denominador común.

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Paso 2.1.1.16.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.16.2

Para escribir $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.16.3

Combina $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.16.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.17

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.18

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.18.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.18.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.19

Simplifica $4 x {(x + 1)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Paso 2.1.1.20

Reescribe $\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ como un producto.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Paso 2.1.1.21

Multiplica $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Paso 2.1.1.22

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.1.1.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.24

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.1.1.26

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27

Simplifica.

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Paso 2.1.1.27.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.27.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.27.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.27.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.2.2

Resta $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.3

Factoriza $x$ de $3 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 2.1.1.27.3.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x) + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.3.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.1.27.3.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.1.2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 3 x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5

Diferencia.

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Paso 2.1.2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + 0) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.5.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 3 + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot x + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + (3 x + 4) \cdot 1) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.8.1

Multiplica $3 x + 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 3 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.8.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.2

Resta $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.11.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.11.2

Combina $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.15

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.15.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16

Simplifica.

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Paso 2.1.2.16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.16.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5

Multiplica $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x)$ .

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Paso 2.1.2.16.1.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.2

Combina $- 3$ y $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.4

Combina $\frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.16.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ al numerador.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 (2))}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.6.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 \cdot 2)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.7

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.9

Para escribir $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.10

Combina $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} + \frac{- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.16.1.12.1

Factoriza $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ de $- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2$ .

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Paso 2.1.2.16.1.12.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.1.2.16.1.12.1.1.1

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12.1.1.2

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 x \cdot (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12.1.1.3

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12.1.2

Factoriza $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ de $- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12.1.3

Factoriza $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ de $- 6 \cdot 2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12.1.4

Factoriza $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.12.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.13

Para escribir $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.14

Combina $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.16

Para escribir $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.17

Combina $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.19

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20

Reescribe $\frac{2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.2.16.1.20.1

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ .

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Paso 2.1.2.16.1.20.1.1

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.1.2

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.1.3

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.1.4

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.1.5

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.3

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.4

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 \cdot 1 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.8

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.9

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.11

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.16.1.20.11.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.11.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.12

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.13

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.15

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.16

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.16.1.20.16.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.16.1.20.16.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.16.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.16.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.17

Suma $8 x$ y $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (20 x + 8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.18

Resta $12 x$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.19

Resta $9 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 3 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.1.20.20

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.16.2.1

Reescribe $\frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.2.2

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2 (2 {(x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.2.16.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{4 {(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16.2.4

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2.16.2.5

Multiplica ${(x + 1)}^{3}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.16.2.5.1

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3})}$

Paso 2.1.2.16.2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Paso 2.1.2.16.2.5.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 2.1.2.16.2.5.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 2.1.2.16.2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 2.1.2.16.2.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.16.2.5.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Paso 2.1.2.16.2.5.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{2} + 8 x + 8 = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.3.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 8$ y $c = 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.3

Resta $96$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.4

Reescribe $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.7

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 2.2.3.3.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.3.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.4.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Paso 2.2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.3

Resta $96$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.4

Reescribe $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.7

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.2.3.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 2.2.3.4.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.4.5

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.4.6

Factoriza $- 1$ de $2 i \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 2 i \sqrt{2})}{3}$

Paso 2.2.3.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (- 2 i \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - 2 i \sqrt{2})}{3}$

Paso 2.2.3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.5.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Paso 2.2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.3

Resta $96$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.4

Reescribe $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.7

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.2.3.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Paso 2.2.3.5.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.5.5

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 i \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (2 i \sqrt{2})}{3}$

Paso 2.2.3.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (2 i \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + 2 i \sqrt{2})}{3}$

Paso 2.2.3.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 2.2.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}, - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ .

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Paso 3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x + 1} = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Simplifica.

$x + 1 = 0^{2}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Notación de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- 1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} + 8 (0) + 8}{4 {((0) + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2.1.4

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2.1.5

Suma $0$ y $8$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4}$

Paso 5.2.3.2

Divide $8$ por $4$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6