Cálculo Ejemplos

$\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ no está definida.

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Paso 2.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Paso 2.2.1.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Paso 2.2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Paso 2.2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Paso 2.2.1.3.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $3$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 2.2.1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $3$ eliminado.

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 2.2.1.3.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - \infty}$

Paso 2.2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.1.3.3.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$2 \frac{\infty}{5 + - \infty}$

Paso 2.2.1.3.3.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.2.1.3.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.2.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.2.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Paso 2.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Paso 2.2.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Paso 2.2.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

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Paso 2.2.3.5.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 2.2.3.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 e^{x}}$

Paso 2.2.3.6

Resta $3 e^{x}$ de $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 3}$

Paso 2.3

Evalúa el límite.

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Paso 2.3.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{- 3}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 (\frac{1}{- 3})$

Paso 2.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{1}{3})$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{1}{3})$

Paso 2.3.2.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3}$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3}$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Paso 3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Paso 3.3.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Paso 3.3.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Paso 3.4

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 \cdot 0}$

Paso 3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común de $0$ y $5 - 3 \cdot 0$ .

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Paso 3.5.1.1

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - 3 \cdot 0}$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 \cdot 0$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)}$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 3 \cdot 0)}$

Paso 3.5.1.4

Reordena los términos.

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Paso 3.5.1.5

Factoriza $5$ de $0$ .

$2 \frac{5 (0)}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Paso 3.5.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.1.6.1

Factoriza $5$ de $- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)$ .

$2 \frac{5 (0)}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Paso 3.5.1.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{5 \cdot 0}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Paso 3.5.1.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Paso 3.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (\frac{0}{1})$

Paso 3.5.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 \cdot 0$

Paso 3.5.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = - \frac{2}{3}, 0$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \ln (\frac{5}{3})$

Asíntotas horizontales: $y = - \frac{2}{3}, 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7