Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ no está definida.

$x = - 1$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Paso 2.1.1.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.1.2.1

Para escribir $e^{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Paso 2.1.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Paso 2.1.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Paso 2.1.2.2

Combina factores.

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Paso 2.1.2.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $e$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $e^{x}$ por $e$ .

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Paso 2.1.2.2.3.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Paso 2.1.2.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Paso 2.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Paso 2.2.1.2

Como el exponente $x + 1$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x + 1}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Paso 2.2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.2.1.3.2

Como el exponente $x + 1$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x + 1}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.2.1.3.3

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1.3.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Paso 2.2.1.3.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.1.3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Paso 2.2.1.3.3.2.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.3.3.2.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.3.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.7

Multiplica $e^{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Paso 2.2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + 1} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Paso 2.2.3.9.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.2.3.9.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.9.6

Multiplica $e^{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.2.3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Paso 2.2.3.11

Suma $e^{x + 1}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $e^{x + 1}$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} 1$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$1$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Paso 3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Paso 3.4

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite.

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Paso 3.5.1

Evalúa el límite de $e^{- 1}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Paso 3.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Paso 3.5.2.1.2

Resta $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$0 (- e)$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $0 (- e)$ .

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Paso 3.5.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 e$

Paso 3.5.2.3.2

Multiplica $0$ por $e$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 1, 0$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

Asíntotas horizontales: $y = 1, 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7