Cálculo Ejemplos

$x = e^{2 t}$ , $y = 2 e^{t}$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = e^{2 t}$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $e^{2 t} = x$ .

$e^{2 t} = x$

Paso 3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 t}) = \ln (x)$

Paso 4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Expande $\ln (e^{2 t})$ ; para ello, mueve $2 t$ fuera del logaritmo.

$2 t \ln (e) = \ln (x)$

Paso 4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 t \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 t = \ln (x)$

Paso 5

Divide cada término en $2 t = \ln (x)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 t = \ln (x)$ por $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 t}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 6

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 2 e^{\frac{\ln (x)}{2}}$

Paso 7

Simplifica $2 e^{\frac{\ln (x)}{2}}$ .

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y = 2 e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Paso 7.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y = 2 e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 7.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y = 2 x^{\frac{1}{2}}$