Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sec (x)$ , $x = \frac{π}{4}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2

Simplifica $\sec (\frac{π}{4})$ .

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Paso 1.2.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.2.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.2.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.2.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.2.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.2.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{4}$ y $y = \sqrt{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 2.2

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 2.3.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\sqrt{2}$ y un punto dado $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.4

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4}$

Paso 3.3.2

Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Para escribir $\sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.3.3.2

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Paso 3.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Paso 3.3.3.4

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) + 4 \sqrt{2}}{4}$

Paso 3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})}{4}$

Paso 3.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Paso 3.3.3.8

Reescribe $- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ como $- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Paso 3.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Paso 4