Cálculo Ejemplos

$7 x + 5 x^{- 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 5 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = 7 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$f' (x) = 7 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 7 + 5 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = 7 - 5 x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 x^{- 2} + 7$ .

$- 5 x^{- 2} + 7$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 5 x^{- 2} + 7 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 7 = 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 7 = 0$

Paso 2.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} + 7 = 0$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{x^{2}} + 7 = 0$

Paso 2.3

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{5}{x^{2}} = - 7$

Paso 2.4

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 2.4.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.5

Multiplica cada término en $- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.5.1

Multiplica cada término en $- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ por $x^{2}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Paso 2.5.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Paso 2.5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 5 = - 7 x^{2}$

Paso 2.6

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $- 7 x^{2} = - 5$ .

$- 7 x^{2} = - 5$

Paso 2.6.2

Divide cada término en $- 7 x^{2} = - 5$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.1

Divide cada término en $- 7 x^{2} = - 5$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

Paso 2.6.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 7}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{5}{7}$

Paso 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

Paso 2.6.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ .

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Paso 2.6.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{7}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Paso 2.6.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 2.6.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.6.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 2.6.4.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 2.6.4.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 2.6.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 2.6.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 2.6.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.6.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.6.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.6.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.6.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.6.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 2.6.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Paso 2.6.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Paso 2.6.4.4.2

Multiplica $5$ por $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

Paso 2.6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Paso 2.6.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Paso 2.6.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece la base en $x^{- 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $7 x + 5 x^{- 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{\sqrt{35}}{7}$ por $x$ .

$7 (\frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{\sqrt{35}}{7} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{35} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.1.2.1.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7}{\sqrt{35}}$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sqrt{35} + 5 (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Paso 4.1.2.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.4.1

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Paso 4.1.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Paso 4.1.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Paso 4.1.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Paso 4.1.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Paso 4.1.2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

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Paso 4.1.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.1.2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.1.2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Paso 4.1.2.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35}$

Paso 4.1.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.5.1

Factoriza $5$ de $35$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

Paso 4.1.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

Paso 4.1.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

Paso 4.1.2.1.6

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

Paso 4.1.2.1.6.2

Divide $\sqrt{35}$ por $1$ .

$\sqrt{35} + \sqrt{35}$

Paso 4.1.2.2

Suma $\sqrt{35}$ y $\sqrt{35}$ .

$2 \sqrt{35}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{\sqrt{35}}{7}$ por $x$ .

$7 (- \frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{35}}{7}$ al numerador.

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{35} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Paso 4.2.2.1.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7}{\sqrt{35}})$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}))$

Paso 4.2.2.1.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.4.1

Multiplica $\frac{7}{\sqrt{35}}$ por $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Paso 4.2.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}})$

Paso 4.2.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}})$

Paso 4.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Paso 4.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Paso 4.2.2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

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Paso 4.2.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 4.2.2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 4.2.2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.2.2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Paso 4.2.2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}})$

Paso 4.2.2.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35})$

Paso 4.2.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 \sqrt{35}}{35}$ al numerador.

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{35}$

Paso 4.2.2.1.5.2

Factoriza $5$ de $35$ .

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

Paso 4.2.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

Paso 4.2.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{35} + \frac{- 7 \sqrt{35}}{7}$

Paso 4.2.2.1.6

Cancela el factor común de $- 7$ y $7$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Factoriza $7$ de $- 7 \sqrt{35}$ .

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7}$

Paso 4.2.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.6.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 (1)}$

Paso 4.2.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 \cdot 1}$

Paso 4.2.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{35} + \frac{- \sqrt{35}}{1}$

Paso 4.2.2.1.6.2.4

Divide $- \sqrt{35}$ por $1$ .

$- \sqrt{35} - \sqrt{35}$

Paso 4.2.2.2

Resta $\sqrt{35}$ de $- \sqrt{35}$ .

$- 2 \sqrt{35}$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$7 (0) + 5 {(0)}^{- 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{- 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

Paso 4.3.2.1.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

Paso 4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(\frac{\sqrt{35}}{7}, 2 \sqrt{35}), (- \frac{\sqrt{35}}{7}, - 2 \sqrt{35})$

Paso 5