Cálculo Ejemplos

$16 x^{4} + 125 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{4} + 125 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{4}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $125$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $125 x$ con respecto a $x$ es $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $125$ por $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $64 x^{3} + 125 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Paso 2.2

Resta $125$ de ambos lados de la ecuación.

$64 x^{3} = - 125$

Paso 2.3

Suma $125$ a ambos lados de la ecuación.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Paso 2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Paso 2.4.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Paso 2.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 4 x$ y $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.4.4

Simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.4.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.4.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 2.4.4.4

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Paso 2.4.4.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Paso 2.6

Establece $4 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $4 x + 5$ igual a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $4 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 5$

Paso 2.6.2.2

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Paso 2.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Paso 2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 2.7

Establece $16 x^{2} - 20 x + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.1

Establece $16 x^{2} - 20 x + 25$ igual a $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Paso 2.7.2

Resuelve $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.7.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = - 20$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3

Simplifica.

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Paso 2.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.3.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Paso 2.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.3

Resta $1600$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.4

Reescribe $- 1200$ como $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1200)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.7

Reescribe $1200$ como $20^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.3.1.7.1

Factoriza $400$ de $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.7.2

Reescribe $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.1.9

Mueve $20$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.7.2.3.3

Simplifica $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.4.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Paso 2.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.3

Resta $1600$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.4

Reescribe $- 1200$ como $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1200)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.7

Reescribe $1200$ como $20^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.4.1.7.1

Factoriza $400$ de $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.7.2

Reescribe $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.1.9

Mueve $20$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.7.2.4.3

Simplifica $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.7.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.5.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Paso 2.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.3

Resta $1600$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.4

Reescribe $- 1200$ como $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1200)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.7

Reescribe $1200$ como $20^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.7.2.5.1.7.1

Factoriza $400$ de $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.7.2

Reescribe $400$ como $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.1.9

Mueve $20$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 2.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 2.7.2.5.3

Simplifica $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.7.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $16 x^{4} + 125 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{5}{4}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{5}{4}$ por $x$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ por $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.6

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Factoriza $16$ de $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $125 (- \frac{5}{4})$ .

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Paso 4.1.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Paso 4.1.2.1.7.2

Combina $- 125$ y $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Paso 4.1.2.1.7.3

Multiplica $- 125$ por $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Paso 4.1.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- \frac{625}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{625}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $- 625$ por $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $2500$ de $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Paso 4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1875}{16}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Paso 5