Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ ; $[- 3, 0]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 1.1.1.9

Combina $4$ y $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.10

Simplifica.

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Paso 1.1.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.10.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{2} = - 4$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $- 4 x^{2} = - 4$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $- 4 x^{2} = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{1 + 1}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{2}$

Paso 1.4.1.2.3

Divide $4$ por $2$ .

$2$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Paso 1.4.2.2.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$- 2$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(- 1, - 2)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{4 (- 3)}{{(- 3)}^{2} + 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{- 12}{{(- 3)}^{2} + 1}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 12}{9 + 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{- 12}{10}$

Paso 3.1.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $10$ .

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Paso 3.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$\frac{2 (- 6)}{10}$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 5}$

Paso 3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 5}$

Paso 3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 6}{5}$

Paso 3.1.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{5}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 3.2.2.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 3, - \frac{6}{5}), (0, 0)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 0)$

Mínimo absoluto: $(- 1, - 2)$

Paso 5