Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{e^{x}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Paso 1.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.2.1

Reescribe $x^{e^{x}}$ como $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Paso 1.2.2

Expande $\ln (x^{e^{x}})$ ; para ello, mueve $e^{x}$ fuera del logaritmo.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.6

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1.8.2

Combina los términos.

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Paso 1.8.2.1

Combina $\frac{e^{x}}{x}$ y $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1.8.2.2

Combina $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ y $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1.8.2.3

Multiplica $e^{x}$ por $e^{e^{x} \ln (x)}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.8.2.3.1

Mueve $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1.8.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1.8.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Paso 1.8.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Paso 1.8.2.6

Para escribir $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 1.8.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 1.8.3

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Elimina los paréntesis.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Paso 3.2

Divide $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ por $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Simplifica.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.1.3

Multiplica $e$ por $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.3

Simplifica.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.6

Multiplica $2 e \cdot 0$ .

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Paso 4.6.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.6.2

Multiplica $0$ por $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Paso 4.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.1

Simplifica.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Paso 4.7.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Paso 4.7.3

Multiplica $e$ por $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Paso 4.8

Suma $0$ y $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Paso 4.9

Simplifica.

$f' (1) = 0 + 2 e$

Paso 5

Suma $0$ y $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$