Cálculo Ejemplos

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)})$

Paso 2

La derivada de $p$ con respecto a $q$ es $p'$ .

$p'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ es $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ donde $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ y $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (q) + \cos (q)$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (q)$ con respecto a $q$ es $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (q)$ con respecto a $q$ es $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.5

La derivada de $\sin (q)$ con respecto a $q$ es $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.4.1

Combina los términos opuestos en $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Resta $\sin (q) \cos (q)$ de $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.1.2

Suma $\sin (q) (- \sin (q))$ y $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.2

Multiplica $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Paso 3.6.4.2.2.1

Eleva $\sin (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.2.2

Eleva $\sin (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.3

Multiplica $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Paso 3.6.4.2.3.1

Eleva $\cos (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.3.2

Eleva $\cos (q)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.4

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.5

Factoriza $- 1$ de $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.5

Combina los términos.

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Paso 3.6.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Paso 3.6.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ a $\csc^{2} (q)$ .

$- \csc^{2} (q)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$p' = - \csc^{2} (q)$

Paso 5

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \csc^{2} (q)$