Cálculo Ejemplos

$p = \frac{6 \sqrt[6]{q}}{1 - q}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{q}$ como $q^{\frac{1}{6}}$ .

$p = \frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q})$

Paso 3

La derivada de $p$ con respecto a $q$ es $p'$ .

$p'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $6$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$ con respecto a $q$ es $6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$ .

$6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ es $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ donde $f (q) = q^{\frac{1}{6}}$ y $g (q) = 1 - q$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{d}{d q} [q^{\frac{1}{6}}] - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.7.2

Resta $6$ de $1$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{- 5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.8

Combina fracciones.

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Paso 4.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{- \frac{5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.8.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $q^{- \frac{5}{6}}$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{q^{- \frac{5}{6}}}{6} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.8.3

Mueve $q^{- \frac{5}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.9

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - q$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.10

Como $1$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $1$ con respecto a $q$ es $0$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (0 + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d q} [- q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [- q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $- q$ con respecto a $q$ es $- \frac{d}{d q} [q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (- \frac{d}{d q} [q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.13

Multiplica.

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Paso 4.13.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 1 q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.13.2

Multiplica $q^{\frac{1}{6}}$ por $1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \cdot 1}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.15

Combina fracciones.

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Paso 4.15.1

Multiplica $q^{\frac{1}{6}}$ por $1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.15.2

Combina $6$ y $\frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ .

$\frac{6 ((1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16

Simplifica.

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Paso 4.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.16.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.16.3.1.1

Multiplica $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ por $1$ .

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.16.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.3

Combina $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ y $q$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.16.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ al numerador.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + \frac{- q}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.5

Mueve $q^{\frac{5}{6}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q \cdot q^{- \frac{5}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.6

Multiplica $q$ por $q^{- \frac{5}{6}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.16.3.1.6.1

Mueve $q^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.6.2

Multiplica $q^{- \frac{5}{6}}$ por $q$ .

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Paso 4.16.3.1.6.2.1

Eleva $q$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q^{1}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + 1} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + \frac{6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{- 5 + 6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.1.6.5

Suma $- 5$ y $6$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.3.2

Suma $- q^{\frac{1}{6}}$ y $6 q^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4

Combina los términos.

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Paso 4.16.4.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ por $\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.2

Combinar.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} (\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.4

Cancela el factor común de $q^{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 4.16.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.5

Multiplica $q^{\frac{5}{6}}$ por $q^{\frac{1}{6}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.16.4.5.1

Mueve $q^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6}} q^{\frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + q^{\frac{1 + 5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.5.4

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{1 + q^{\frac{6}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.5.5

Divide $6$ por $6$ .

$\frac{1 + q^{1} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.6

Simplifica $q^{1} \cdot 5$ .

$\frac{1 + q \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.4.7

Mueve $5$ a la izquierda de $q$ .

$\frac{1 + 5 q}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 4.16.5

Reordena los términos.

$\frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$p' = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$