Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 1.10

Combina $- 2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.12

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.15.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.15.3

Reordena los factores de $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.4

Expande $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.15.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.15.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.15.5.1.1

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.2

Multiplica $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.3

Multiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

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Paso 1.15.5.1.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.3.3

Combina $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.15.5.1.5.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.5.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 1.15.5.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.5.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.6

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.15.5.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.15.5.1.6.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Paso 1.15.5.1.6.3

Cancela el factor común.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Paso 1.15.5.1.6.4

Reescribe la expresión.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Paso 1.15.5.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Paso 1.15.5.2

Resta $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.9

Combina $- 6$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.11

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.12.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.12.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.12.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 4.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 4.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 4.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.1.10

Combina $- 2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.12

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Paso 4.1.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.15.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.1.15.3

Reordena los factores de $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f' (x) = (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.4

Expande $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.15.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.15.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.15.5.1.1

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.2

Multiplica $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.3

Multiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

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Paso 4.1.15.5.1.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.3.3

Combina $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.15.5.1.5.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.5.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 4.1.15.5.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.5.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.6

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.15.5.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.15.5.1.6.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Paso 4.1.15.5.1.6.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Paso 4.1.15.5.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Paso 4.1.15.5.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Paso 4.1.15.5.2

Resta $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Paso 5.2.2

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{2} - 6 u + 4 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $2$ de $2 u^{2} - 6 u + 4$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) - 6 u + 4 = 0$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $2$ de $- 6 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (- 3 u) + 4 = 0$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 5.2.3.4

Factoriza $2$ de $2 u^{2} + 2 (- 3 u)$ .

$2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 5.2.3.5

Factoriza $2$ de $2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2$ .

$2 (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Paso 5.2.4

Factoriza.

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $u^{2} - 3 u + 2$ con el método AC.

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Paso 5.2.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 5.2.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Paso 5.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (u - 2) (u - 1) = 0$

Paso 5.2.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 2$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Paso 5.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 5.4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 5.4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 5.4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 2^{2}$

Paso 5.4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 2^{2}$

Paso 5.4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = 4$

Paso 5.5

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x^{\frac{1}{2}} - 1$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Paso 5.5.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 5.5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.5.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.5.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 1^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 1^{2}$

Paso 5.5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = 1$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$2 x - 6 \sqrt{x^{1}} + 4$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$2 x - 6 \sqrt{x} + 4$

Paso 6.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 6.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 - \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.3.1

Cancela el factor común.

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 9.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 - \frac{3}{2^{1}}$

Paso 9.1.4

Evalúa el exponente.

$2 - \frac{3}{2}$

Paso 9.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 9.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 3}{2}$

Paso 9.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 10

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {((4) - 2 \sqrt{4})}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = {(4 - 2 \sqrt{2^{2}})}^{2}$

Paso 11.2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (4) = {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (4) = {(4 - 4)}^{2}$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (4) = 0^{2}$

Paso 11.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (4) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - \frac{3}{1}$

Paso 13.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$2 - 1 \cdot 3$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 - 3$

Paso 13.2

Resta $3$ de $2$ .

$- 1$

Paso 14

$x = 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {((1) - 2 \sqrt{1})}^{2}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = {(1 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = {(1 - 2)}^{2}$

Paso 15.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (1) = {(- 1)}^{2}$

Paso 15.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (1) = 1$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$ .

$(4, 0)$ es un mínimo local

$(1, 1)$ es un máximo local

Paso 17