Cálculo Ejemplos

$y = 2 x - \tan (x)$

Paso 1

Escribe $y = 2 x - \tan (x)$ como una función.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.2.2.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 2.2.2.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Paso 2.2.2.5

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Paso 2.2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Paso 2.2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Paso 2.2.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.2.3

Resta $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Paso 3.3

Establece $\sec^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $\sec^{2} (x)$ igual a $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $\sec^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sec (x) = \pm 0$

Paso 3.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\sec (x) = 0$

Paso 3.3.2.3

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 3.4

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $\tan (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4.2.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + 0$

Paso 3.4.2.4

Suma $π$ y $0$ .

$x = π$

Paso 3.4.2.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 3.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.4.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.4.2.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ verdadera.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de en $f (x) = 2 x - \tan (x)$ es $(,)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(,)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty,)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.20268949$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty,)$ .

Incremento en $(- \infty,)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Paso 7.2

La respuesta final es $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.20268949$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(, \infty)$ .

Decrecimiento en $(, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(,)$ .

$(,)$

Paso 9