Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.4

Simplifica.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.5.2

Multiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.11

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.11.3

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.14

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.15

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.15.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.15.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.15.4

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.19

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.20

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.21

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.21.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.21.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.21.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.23

Para escribir ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.25

Multiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.25.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.25.3

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.25.4

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.26

Simplifica ${(x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.27

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.28

Suma $0$ y $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.29

Reescribe $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ como un producto.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2})$

Paso 2.1.30

Multiplica $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

Paso 2.1.31

Multiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 2$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.31.1

Multiplica ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.31.1.1

Eleva $x^{2} + 2$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

Paso 2.1.31.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}})$

Paso 2.1.31.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}})$

Paso 2.1.31.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}})$

Paso 2.1.31.4

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.1.32

Combina $2$ y $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.33

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Paso 2.2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Paso 2.2.1.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 2.2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.8

Combina ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.9.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.9.2

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.9.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

Paso 2.2.10

Combina $\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ y $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.11

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.12

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.13.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.13.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.13.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Paso 2.2.15

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

Paso 2.2.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

Paso 2.2.17

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Paso 2.2.18

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.18.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Paso 2.2.18.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Paso 2.2.18.3

Combina $- 2$ y $\frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Paso 2.2.18.4

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Paso 2.2.18.5

Combina $\frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 2.2.18.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$12 x = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$x = 0$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{2 (0)}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 2}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3

Divide $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = - \frac{12 (- 0.1)}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $12$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0.01$ y $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe $2.01$ como ${1.41774468}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Paso 6.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Paso 6.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{5}}$

Paso 6.2.2.6

Eleva $1.41774468$ a la potencia de $5$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{5.72783031}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Divide $- 1.2$ por $5.72783031$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.20950341$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0.20950341$ .

$0.20950341$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.20950341$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = - \frac{12 (0.1)}{{({(0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({0.1}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.01$ y $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe $2.01$ como ${1.41774468}^{2}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 7.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Paso 7.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

Paso 7.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{5}}$

Paso 7.2.2.6

Eleva $1.41774468$ a la potencia de $5$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{5.72783031}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Divide $1.2$ por $5.72783031$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.20950341$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.20950341$ .

$f'' (0.1) = - 0.20950341$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 0.20950341$ .

$- 0.20950341$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.20950341$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 9