Cálculo Ejemplos

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Paso 1

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Paso 3

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Paso 4

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Paso 5

Calcula la derivada de $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Paso 6.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Paso 6.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Paso 6.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.3.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Paso 6.3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Paso 6.3.3.3

Multiplica $4$ por $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Paso 6.3.3.4

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Paso 7.3.3

Multiplica $48$ por $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Paso 7.3.4

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Paso 7.3.5

Suma $- 12 x^{2}$ y $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Paso 7.3.6

Resta $24 x$ de $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$