Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{5} x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{1}{5}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{12}{5} x + \frac{1}{5}$

Paso 1.1.2

Combina $x$ y $\frac{12}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 12}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 1.1.3

Mueve $12$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{12 x}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{5} - \frac{12 x}{5} + \frac{1}{5}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{5}$

$b = - \frac{12}{5}$

$c = \frac{1}{5}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{12}{5}$ al numerador.

$d = \frac{- 12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 (- 6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{- 6}{5}$ por $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{- 6}{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.3.2.4

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{- 6}{\frac{5}{5}}$

Paso 1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 6}{\frac{5}{5}}$

Paso 1.2.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{1}$

Paso 1.2.3.2.6

Divide $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{{(- \frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{12}{5}$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{12}{5}$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 \frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 \frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{1 (\frac{144}{25})}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{144}{25}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{1}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $144$ .

$e = \frac{1}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = \frac{1}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 36}{5}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $36$ de $1$ .

$e = \frac{- 35}{5}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $- 35$ por $5$ .

$e = - 7$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{5} {(x - 6)}^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(x - 6)}^{2} - 7$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{5} \cdot {(x - 6)}^{2} - 7$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{5}$

$h = 6$

$k = - 7$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(6, - 7)$

Paso 4