Cálculo Ejemplos

$y = 16 x^{2}$ , $y = \sqrt{4 x}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$16 x^{2} = \sqrt{4 x}$

Paso 1.2

Resuelve $16 x^{2} = \sqrt{4 x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{4 x} = 16 x^{2}$

Paso 1.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 x}}^{2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica ${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 x)}^{1} = {(16 x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Simplifica.

$4 x = {(16 x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Simplifica ${(16 x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $16 x^{2}$ .

$4 x = 16^{2} {(x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$4 x = 256 {(x^{2})}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 256 x^{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x = 256 x^{4}$

Paso 1.2.4

Resuelve $x$

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Paso 1.2.4.1

Resta $256 x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 256 x^{4} = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x - 256 x^{4}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x$ .

$4 x (1) - 256 x^{4} = 0$

Paso 1.2.4.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 256 x^{4}$ .

$4 x (1) + 4 x (- 64 x^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (1) + 4 x (- 64 x^{3})$ .

$4 x (1 - 64 x^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$4 x (1^{3} - 64 x^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

$4 x (1^{3} - {(4 x)}^{3}) = 0$

Paso 1.2.4.2.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = 4 x$ .

$4 x ((1 - (4 x)) (1^{2} + 1 (4 x) + {(4 x)}^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.5

Factoriza.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Simplifica.

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Paso 1.2.4.2.5.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1^{2} + 1 (4 x) + {(4 x)}^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 1 (4 x) + {(4 x)}^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.5.1.3

Multiplica $4 x$ por $1$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 4 x + {(4 x)}^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.5.1.4

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 4 x + 4^{2} x^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.5.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 4 x + 16 x^{2})) = 0$

Paso 1.2.4.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (1 - 4 x) (1 + 4 x + 16 x^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - 4 x = 0$

$1 + 4 x + 16 x^{2} = 0 + y = \sqrt{4 x}$

Paso 1.2.4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $1 - 4 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $1 - 4 x$ igual a $0$ .

$1 - 4 x = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resuelve $1 - 4 x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 1$

Paso 1.2.4.5.2.2

Divide cada término en $- 4 x = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.5.2.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.2.4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 1.2.4.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.4.6

Establece $1 + 4 x + 16 x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Establece $1 + 4 x + 16 x^{2}$ igual a $0$ .

$1 + 4 x + 16 x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.6.2

Resuelve $1 + 4 x + 16 x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt{4 x}$

Paso 1.2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16} + y = \sqrt{4 x}$

Paso 1.2.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.6.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 1.2.4.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.6.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.4.6.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 1.2.4.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.6.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.4.6.2.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 1.2.4.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (1 - 4 x) (1 + 4 x + 16 x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = \sqrt{4 (0)}$

Paso 1.3.2

Simplifica $\sqrt{4 (0)}$ .

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $\frac{1}{4}$ por $x$ .

$y = \sqrt{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.4.2

Simplifica $\sqrt{4 (\frac{1}{4})}$ .

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Paso 1.4.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 1.4.2.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$y = \sqrt{1}$

Paso 1.4.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ por $x$ .

$y = \sqrt{4 (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8})}$

Paso 1.5.2

Simplifica $\sqrt{4 (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8})}$ .

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \sqrt{- 4 \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}}$

Paso 1.5.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \sqrt{\frac{- 4 (1 - i \sqrt{3})}{8}}$

Paso 1.5.2.3

Reduce la expresión $\frac{- 4 (1 - i \sqrt{3})}{8}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 (1 - i \sqrt{3})$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 - i \sqrt{3}))}{8}}$

Paso 1.5.2.3.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 - i \sqrt{3}))}{4 (2)}}$

Paso 1.5.2.3.3

Cancela el factor común.

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 - i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.5.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{\frac{- (1 - i \sqrt{3})}{2}}$

Paso 1.5.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \sqrt{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2.5

Reescribe $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.5.2.5.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2.5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = i \sqrt{\frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = i \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2.8

Reescribe $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.5.2.9

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i (\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 1.5.2.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.5.2.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.5.2.10.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.5.2.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.5.2.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.5.2.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.5.2.10.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.5.2.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.5.2.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.5.2.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.5.2.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.5.2.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.5.2.10.6.5

Evalúa el exponente.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.5.2.11

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = i \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 1.5.2.12

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{i \sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 1.5.2.13

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 1.6

Evalúa $y$ cuando $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ .

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Paso 1.6.1

Sustituye $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ por $x$ .

$y = \sqrt{4 (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8})}$

Paso 1.6.2

Simplifica $\sqrt{4 (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8})}$ .

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Paso 1.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \sqrt{- 4 \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}}$

Paso 1.6.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \sqrt{\frac{- 4 (1 + i \sqrt{3})}{8}}$

Paso 1.6.2.3

Reduce la expresión $\frac{- 4 (1 + i \sqrt{3})}{8}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.6.2.3.1

Factoriza $4$ de $- 4 (1 + i \sqrt{3})$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 + i \sqrt{3}))}{8}}$

Paso 1.6.2.3.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 + i \sqrt{3}))}{4 (2)}}$

Paso 1.6.2.3.3

Cancela el factor común.

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 + i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.6.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{\frac{- (1 + i \sqrt{3})}{2}}$

Paso 1.6.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \sqrt{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6.2.5

Reescribe $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.6.2.5.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6.2.5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = i \sqrt{\frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = i \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.6.2.8

Reescribe $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.6.2.9

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i (\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 1.6.2.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.6.2.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.6.2.10.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.6.2.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.6.2.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.6.2.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.6.2.10.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.6.2.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.6.2.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.6.2.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.6.2.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.2.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.6.2.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.6.2.10.6.5

Evalúa el exponente.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.6.2.11

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = i \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 1.6.2.12

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{i \sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Paso 1.6.2.13

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$

Paso 1.7

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = \frac{1}{4}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = \frac{1}{4}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3