Cálculo Ejemplos

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Simplifica $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Multiplica $e^{{(1)}^{2}}$ por $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = e^{1}$

Paso 1.3.2.3.3

Simplifica.

$y = e$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, e)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $e$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Paso 3.4

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.4.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.4.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 3.4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 3.4.1.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 3.4.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 3.4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Paso 3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = e^{1}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica.

$u_{lower} = e$

Paso 3.4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Paso 3.4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Paso 3.4.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Paso 3.7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Paso 3.8

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.8.1

Evalúa $\frac{1}{2} u_{2}$ en $e^{e^{2}}$ y en $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Paso 3.8.2

Evalúa $e^{x}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Paso 3.8.3

Simplifica.

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Paso 3.8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Paso 3.8.3.2

Combina $e$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Paso 3.8.3.3

Simplifica.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Paso 3.8.3.4

Para escribir $- (e^{e} - e)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Paso 3.8.3.5

Combina $- (e^{e} - e)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Paso 3.8.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Paso 3.8.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Paso 3.9.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Paso 3.9.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Paso 3.9.3

Resta $e$ de $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Paso 4