Cálculo Ejemplos

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$81 x = x^{5}$

Paso 1.2

Resuelve $81 x = x^{5}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $x^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$81 x - x^{5} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $81 x - x^{5}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $x$ de $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Paso 1.2.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9$ y $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza.

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Paso 1.2.2.5.1

Simplifica.

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Paso 1.2.2.5.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Paso 1.2.2.5.1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.2.5.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Paso 1.2.2.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Paso 1.2.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $9 + x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $9 + x^{2}$ igual a $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $9 + x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 1.2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 1.2.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 1.2.5.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 1.2.5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 1.2.5.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 1.2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 1.2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 1.2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 1.2.6

Establece $3 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $3 + x$ igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.7

Establece $3 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $3 - x$ igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Paso 1.2.7.2

Resuelve $3 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.7.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 1.2.7.2.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.7.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.7.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = {(0)}^{5}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{5}$

Paso 1.3.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 3 i$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $3 i$ por $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Paso 1.4.2

Simplifica ${(3 i)}^{5}$ .

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Paso 1.4.2.1

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Paso 1.4.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Paso 1.4.2.4

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.4.2.4.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 1.4.2.4.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 1.4.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Paso 1.4.2.5

Multiplica $i$ por $1$ .

$y = 243 i$

Paso 1.5

Evalúa $y$ cuando $x = - 3 i$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye $- 3 i$ por $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Paso 1.5.2

Simplifica ${(- 3 i)}^{5}$ .

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Paso 1.5.2.1

Aplica la regla del producto a $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Paso 1.5.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Paso 1.5.2.4

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.5.2.4.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 1.5.2.4.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 1.5.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Paso 1.5.2.5

Multiplica $i$ por $1$ .

$y = - 243 i$

Paso 1.6

Evalúa $y$ cuando $x = - 3$ .

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Paso 1.6.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Paso 1.6.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$y = - 243$

Paso 1.7

Evalúa $y$ cuando $x = 3$ .

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Paso 1.7.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Paso 1.7.2

Sustituye $3$ por $x$ en $y = {(3)}^{5}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.7.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3^{5}$

Paso 1.7.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$y = 243$

Paso 1.8

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3