Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

Paso 1.2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $3$ y $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.2.4.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Paso 1.2.4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 1.2.6

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 3$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = 6 (3) - 6$

Paso 1.3.2

Simplifica $6 (3) - 6$ .

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$y = 18 - 6$

Paso 1.3.2.2

Resta $6$ de $18$ .

$y = 12$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(3, 12)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

Paso 3.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

Paso 3.3

Suma $3$ y $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Paso 3.6

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Paso 3.9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

Paso 3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.10.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ y $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Paso 3.10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.10.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ en $2$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Paso 3.10.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3

Simplifica.

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Paso 3.10.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.3

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.4

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.5

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.3.7.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.7.2

Suma $8$ y $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.11

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.12

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.13

Combina $- 9$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.15

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.3.15.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.15.2

Resta $27$ de $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.17

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.18

Multiplica $\frac{28}{3}$ por $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.20

Suma $62$ y $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.21

Cancela el factor común de $90$ y $3$ .

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Paso 3.10.2.3.21.1

Factoriza $3$ de $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.21.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.21.2.4

Divide $30$ por $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.22

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.23

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.10.2.3.23.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.23.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.23.2.2

Cancela el factor común.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.23.2.3

Reescribe la expresión.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.23.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Paso 3.10.2.3.25

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 3.10.2.3.26

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 3.10.2.3.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 3.10.2.3.28

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.3.28.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Paso 3.10.2.3.28.2

Resta $1$ de $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

Paso 3.10.2.3.29

Combina $- 6$ y $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Paso 3.10.2.3.30

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

Paso 3.10.2.3.31

Cancela el factor común de $- 18$ y $2$ .

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Paso 3.10.2.3.31.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Paso 3.10.2.3.31.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.31.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Paso 3.10.2.3.31.2.2

Cancela el factor común.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.2.3.31.2.3

Reescribe la expresión.

$30 + \frac{- 9}{1}$

Paso 3.10.2.3.31.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$30 - 9$

Paso 3.10.2.3.32

Resta $9$ de $30$ .

$21$

Paso 4