Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} + 3$ ; $y = 0$ ; $0 \leq x \leq 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{3} + 3 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x^{3} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 3$

Paso 1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $- 3$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Paso 1.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{3}$ como $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Paso 1.3

Sustituye $- \sqrt[3]{3}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \sqrt[3]{3}, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $x^{3} + 3$ .

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} 3 d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} 3 d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + 3 x]_{0}^{2}$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ y $3 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 x]_{0}^{2}$

Paso 3.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Evalúa $\frac{1}{4} x^{4} + 3 x$ en $2$ y en $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 3 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2

Simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $16$ .

$\frac{16}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.3

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 3.6.2.2.3.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.3.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 + 6 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.5

Suma $4$ y $6$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$10 - (0 + 3 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.8

Multiplica $3$ por $0$ .

$10 - (0 + 0)$

Paso 3.6.2.2.9

Suma $0$ y $0$ .

$10 - 0$

Paso 3.6.2.2.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$10 + 0$

Paso 3.6.2.2.11

Suma $10$ y $0$ .

$10$

Paso 4