Cálculo Ejemplos

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 4]$

Paso 1

Escribe $y = e^{2 x}$ como una función.

$f (x) = e^{2 x}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} e^{2 x} d x)$

Paso 6

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Paso 6.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} e^{u} (\frac{1}{2}) d u)$

Paso 7

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{8} e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{8})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $e^{u}$ en $8$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot ((e^{8}) - e^{0}))$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1 \cdot 1))$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{8}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Paso 11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{- 1}{2})$

Paso 11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 12

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 12.2

Suma $4$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

Paso 13.2

Combinar.

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

Paso 14

Multiplica $\frac{1}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 14.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Multiplica $e^{8}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Paso 15.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 16