Cálculo Ejemplos

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Paso 1

Escribe $y = 8 x (20 - x)$ como una función.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f (x)$ es continua en $[0, 20]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Paso 6

Multiplica $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $20$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Paso 7.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Paso 7.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Paso 7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Paso 7.6

Suma $1$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Paso 9

Dado que $160$ es constante con respecto a $x$ , mueve $160$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Paso 11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Paso 12

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Paso 14.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $20$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Paso 14.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $20$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3

Simplifica.

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Paso 14.2.3.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.2

Cancela el factor común de $400$ y $2$ .

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Paso 14.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.2.2.4

Divide $200$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 14.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.6

Suma $200$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.7

Multiplica $160$ por $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.8

Eleva $20$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 14.2.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 14.2.3.10

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 14.2.3.10.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 14.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.3.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 14.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 14.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 14.2.3.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Paso 14.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Paso 14.2.3.12

Suma $\frac{8000}{3}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Paso 14.2.3.13

Combina $- 8$ y $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Paso 14.2.3.14

Multiplica $- 8$ por $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Paso 14.2.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Paso 14.2.3.16

Para escribir $32000$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Paso 14.2.3.17

Combina $32000$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Paso 14.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Paso 14.2.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.3.19.1

Multiplica $32000$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Paso 14.2.3.19.2

Resta $64000$ de $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Paso 15

Simplifica el denominador.

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Paso 15.2

Suma $20$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Paso 16

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 16.1

Factoriza $20$ de $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Paso 16.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Paso 16.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Paso 17