Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{6}]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, \frac{π}{6}]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (x) d x)$

Paso 5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Paso 6.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 6.2.4

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} - 0} (\frac{1}{2})$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6} + 0} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{6}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$A (x) = 1 (\frac{6}{π}) \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9

Multiplica $\frac{6}{π}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{6}{π} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{2 (3)}{π} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 10.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{2 \cdot 3}{π} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 10.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{3}{π}$

Paso 11