Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[- 1, 1]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{5}{x^{2} + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 1.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 1.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 1.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 1.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 1.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

Paso 8

Evalúa $\arctan (x)$ en $1$ y en $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Paso 9.1.3

Multiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Paso 9.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

Paso 9.1.3.2

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Paso 9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

Paso 9.3

Suma $π$ y $π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

Paso 9.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Paso 9.4.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Paso 9.4.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

Paso 9.5

Combina $5$ y $\frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 π}{2}$ .

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

Paso 12