Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $6 \cos (x)$ de $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $6 \cos (x)$ de $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6 \cos (x)$ de $- 6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6 \cos (x)$ de $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.4.2.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.4.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.4.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.4.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Establece $- \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $- \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Paso 2.5.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 2.5.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.5.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.5.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.5.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.5.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2.8.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.5.2.8.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.8.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.5.2.8.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π n - 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Paso 5.2

La respuesta final es $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Paso 5.3

Simplifica.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Paso 5.4

En $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ la derivada es $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π n + 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Paso 6.4

En $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ la derivada es $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Paso 8