Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} {(x - 5)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} ((x - 5) (x - 5)))$

Paso 1.1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x (x - 5) - 5 (x - 5)))$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)))$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5))$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5))$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5))$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} - 5 x - 5 x + 25))$

Paso 1.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} - 10 x + 25))$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 10 x + 25$ .

$f' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 10 x + 25) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 10 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.3

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.5

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.6

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.7

Suma $2 x - 10$ y $0$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (3 x^{2})$

Paso 1.1.5.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 10 x + 25$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10) + 3 \cdot ((x^{2} - 10 x + 25) x^{2})$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 10 + 3 (x^{2} - 10 x + 25) x^{2}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 10 + (3 x^{2} + 3 (- 10 x) + 3 \cdot 25) x^{2}$

Paso 1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.6.4.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.4.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$f' (x) = x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.3

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.4.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.5

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x \cdot x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.4.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 (x^{2} x) + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.6.4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 (x^{2} x) + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x^{2 + 1} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x^{3} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Paso 1.1.6.4.7

Multiplica $3$ por $25$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x^{3} + 75 x^{2}$

Paso 1.1.6.4.8

Suma $2 x^{4}$ y $3 x^{4}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 x^{3} - 30 x^{3} + 75 x^{2}$

Paso 1.1.6.4.9

Resta $30 x^{3}$ de $- 10 x^{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{4}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) - 40 x^{3} + 75 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $5 x^{2}$ de $- 40 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (- 8 x) + 75 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $5 x^{2}$ de $75 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (- 8 x) + 5 x^{2} (15) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (- 8 x)$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 8 x) + 5 x^{2} (15) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{2} (x^{2} - 8 x) + 5 x^{2} (15)$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 8 x + 15$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 5, - 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$5 x^{2} ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$5 x^{2} (x - 5) (x - 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 x^{2} (x - 5) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5, 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 5, 3$ .

$0, 5, 3$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 40 {(- 1)}^{3} + 75 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 1 - 40 {(- 1)}^{3} + 75 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (- 1) = 5 - 40 {(- 1)}^{3} + 75 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = 5 - 40 \cdot - 1 + 75 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 40$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 5 + 40 + 75 {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 5 + 40 + 75 \cdot 1$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $75$ por $1$ .

$f' (- 1) = 5 + 40 + 75$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $5$ y $40$ .

$f' (- 1) = 45 + 75$

Paso 5.2.2.2

Suma $45$ y $75$ .

$f' (- 1) = 120$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $120$ .

$120$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $120$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = 5 {(\frac{3}{2})}^{4} - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{2^{4}}) - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{16}) - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $5 (\frac{81}{16})$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Combina $5$ y $\frac{81}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 81}{16} - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4.2

Multiplica $5$ por $81$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 \frac{3^{3}}{2^{3}} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 \frac{27}{2^{3}} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 (\frac{27}{8}) + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Factoriza $8$ de $- 40$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + 8 (- 5) (\frac{27}{8}) + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + 8 \cdot (- 5 (\frac{27}{8})) + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 5 \cdot 27 + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 5$ por $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.10

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 (\frac{9}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.13

Multiplica $75 (\frac{9}{4})$ .

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Paso 6.2.1.13.1

Combina $75$ y $\frac{9}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + \frac{75 \cdot 9}{4}$

Paso 6.2.1.13.2

Multiplica $75$ por $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + \frac{675}{4}$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $- 135$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135}{1} + \frac{675}{4}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{- 135}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{675}{4}$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{- 135}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675}{4}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $\frac{675}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{675}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 135 \cdot 16 + 675 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 135$ por $16$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 2160 + 675 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $675$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 2160 + 2700}{16}$

Paso 6.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.5.1

Resta $2160$ de $405$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1755 + 2700}{16}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 1755$ y $2700$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{945}{16}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{945}{16}$ .

$\frac{945}{16}$

Paso 6.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $\frac{945}{16}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 3)$ .

Incremento en $(0, 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(3, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 5 {(4)}^{4} - 40 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = 5 \cdot 256 - 40 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $5$ por $256$ .

$f' (4) = 1280 - 40 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f' (4) = 1280 - 40 \cdot 64 + 75 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 40$ por $64$ .

$f' (4) = 1280 - 2560 + 75 {(4)}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 1280 - 2560 + 75 \cdot 16$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $75$ por $16$ .

$f' (4) = 1280 - 2560 + 1200$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $2560$ de $1280$ .

$f' (4) = - 1280 + 1200$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 1280$ y $1200$ .

$f' (4) = - 80$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 80$ .

$- 80$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $- 80$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, 5)$ .

Decrecimiento en $(3, 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 5 {(6)}^{4} - 40 {(6)}^{3} + 75 {(6)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f' (6) = 5 \cdot 1296 - 40 {(6)}^{3} + 75 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $5$ por $1296$ .

$f' (6) = 6480 - 40 {(6)}^{3} + 75 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = 6480 - 40 \cdot 216 + 75 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 40$ por $216$ .

$f' (6) = 6480 - 8640 + 75 {(6)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = 6480 - 8640 + 75 \cdot 36$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $75$ por $36$ .

$f' (6) = 6480 - 8640 + 2700$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Resta $8640$ de $6480$ .

$f' (6) = - 2160 + 2700$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 2160$ y $2700$ .

$f' (6) = 540$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $540$ .

$540$

Paso 8.3

En $x = 6$ la derivada es $540$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(5, \infty)$ .

Incremento en $(5, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (0, 3), (5, \infty)$

Decrecimiento en: $(3, 5)$

Paso 10