Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x} (3 x - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (3 x - 1) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = e^{x} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} (3 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = e^{x} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$f' (x) = e^{x} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$f' (x) = 3 \cdot e^{x} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{x} + (3 x - 1) e^{x}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 3 e^{x} + 3 x e^{x} - 1 e^{x}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$f' (x) = 3 e^{x} + 3 x e^{x} - e^{x}$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $e^{x}$ de $3 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 1.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 3 e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 1.1.4.4

Reordena los factores en $3 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $e^{x}$ de $3 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $3 x e^{x}$ .

$e^{x} (3 x) + 2 e^{x} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} (3 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (3 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (3 x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (3 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = e^{x} (3 x - 1)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{3}$ en la expresión.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (- \frac{5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{3}$ al numerador.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{- 5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{- 5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{5}{3}) = - 5 \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = - 5 \cdot \frac{1}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.3

Combina $- 5$ y $\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

Paso 5.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 (\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}})$

Paso 5.2.1.6

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + \frac{2}{e^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 + 2}{e^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.2.1

Suma $- 5$ y $2$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 3}{e^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.3

En $x = - \frac{5}{3}$ la derivada es $- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{3}) = 1 \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $e^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{3}) = e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2.2

Suma $e^{\frac{1}{3}}$ y $2 e^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (\frac{1}{3}) = 3 e^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $3 e^{\frac{1}{3}}$ .

$3 e^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.3

En $x = \frac{1}{3}$ la derivada es $3 e^{\frac{1}{3}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{2}{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{2}{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{2}{3})$

Paso 8