Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.2.10

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.12

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 2^{2}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = 2^{2}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $4$ .

$4$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 4.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 4.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1.1

Reescribe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Paso 6.2.1.1.2

Evalúa el exponente.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2}{i}$ por el conjugado de $i$ para hacer real el denominador.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Paso 6.2.1.3

Multiplica.

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Paso 6.2.1.3.1

Combinar.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Paso 6.2.1.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Paso 6.2.1.3.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Paso 6.2.1.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Paso 6.2.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Paso 6.2.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 i)$ como $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $1 + 2 i$ . Como esta contiene un número imaginario, la función no existe en $(- \infty, 0)$ .

La función no es real en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x)$ es imaginario

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Mueve ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Paso 7.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 7.2.1.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

$- 0.41421356$

Paso 7.4

En $x = 2$ la derivada es $- 0.41421356$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 4)$ .

Decrecimiento en $(0, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2

La respuesta final es $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$0.1055728$

Paso 8.4

En $x = 5$ la derivada es $0.1055728$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(4, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 4)$

Paso 10