Cálculo Ejemplos

$H (t) = \frac{3}{2} t^{4} - t^{6}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{2} t^{4} - t^{6}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{3}{2} t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{6}]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (\frac{3}{2} t^{4}) + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{3}{2} t^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{3}{2} t^{4}$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$f' (t) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t^{4}) + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (t) = \frac{3}{2} \cdot (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$f' (t) = \frac{4 \cdot 3}{2} t^{3} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (t) = \frac{12}{2} t^{3} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{12}{2}$ y $t^{3}$ .

$f' (t) = \frac{12 t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $2$ de $12 t^{3}$ .

$f' (t) = \frac{2 (6 t^{3})}{2} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (t) = \frac{2 (6 t^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f' (t) = \frac{2 (6 t^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (t) = \frac{6 t^{3}}{1} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.2.6.2.4

Divide $6 t^{3}$ por $1$ .

$f' (t) = 6 t^{3} + \frac{d}{d t} (- t^{6})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- t^{6}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{6}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{6}]$ .

$f' (t) = 6 t^{3} - \frac{d}{d t} t^{6}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f' (t) = 6 t^{3} - (6 t^{5})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f' (t) = 6 t^{3} - 6 t^{5}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (t) = - 6 t^{5} + 6 t^{3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $H (t)$ con respecto a $t$ es $- 6 t^{5} + 6 t^{3}$ .

$- 6 t^{5} + 6 t^{3}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 6 t^{5} + 6 t^{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 6 t^{5} + 6 t^{3} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 6 t^{3}$ de $- 6 t^{5} + 6 t^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 6 t^{3}$ de $- 6 t^{5}$ .

$- 6 t^{3} t^{2} + 6 t^{3} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 6 t^{3}$ de $6 t^{3}$ .

$- 6 t^{3} t^{2} - 6 t^{3} \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $- 6 t^{3}$ de $- 6 t^{3} (t^{2}) - 6 t^{3} (- 1)$ .

$- 6 t^{3} (t^{2} - 1) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 6 t^{3} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$- 6 t^{3} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 6 t^{3} (t + 1) (t - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t^{3} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $t^{3}$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.4.1

Establece $t^{3}$ igual a $0$ .

$t^{3} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $t^{3} = 0$ en $t$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$t = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$t = 0$

Paso 2.5

Establece $t + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.5.1

Establece $t + 1$ igual a $0$ .

$t + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 1$

Paso 2.6

Establece $t - 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 2.6.1

Establece $t - 1$ igual a $0$ .

$t - 1 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 1$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 6 t^{3} (t + 1) (t - 1) = 0$ verdadera.

$t = 0, - 1, 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $t$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 2$ en la expresión.

$H' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} + 6 {(- 2)}^{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$H' (- 2) = - 6 \cdot - 32 + 6 {(- 2)}^{3}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 32$ .

$H' (- 2) = 192 + 6 {(- 2)}^{3}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$H' (- 2) = 192 + 6 \cdot - 8$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $6$ por $- 8$ .

$H' (- 2) = 192 - 48$

Paso 5.2.2

Resta $48$ de $192$ .

$H' (- 2) = 144$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $144$ .

$144$

Paso 5.3

En $t = - 2$ la derivada es $144$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $H' (t) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $t$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 {(- \frac{1}{2})}^{5} + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{2})}^{5}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{2^{5}})) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (- \frac{1^{5}}{2^{5}}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (- \frac{1}{2^{5}}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (- \frac{1}{32}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{32}$ al numerador.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 6 (\frac{- 1}{32}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = 2 (- 3) (\frac{- 1}{32}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.5.3

Factoriza $2$ de $32$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 16}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.5.4

Cancela el factor común.

$H' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 16}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.5.5

Reescribe la expresión.

$H' (- \frac{1}{2}) = - 3 (\frac{- 1}{16}) + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.6

Combina $- 3$ y $\frac{- 1}{16}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 \cdot - 1}{16} + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 6.2.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 6.2.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}}))$

Paso 6.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Paso 6.2.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (- \frac{1}{2^{3}})$

Paso 6.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (- \frac{1}{8})$

Paso 6.2.1.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 6 (\frac{- 1}{8})$

Paso 6.2.1.12.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 2 (3) (\frac{- 1}{8})$

Paso 6.2.1.12.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}))$

Paso 6.2.1.12.4

Cancela el factor común.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}))$

Paso 6.2.1.12.5

Reescribe la expresión.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + 3 (\frac{- 1}{4})$

Paso 6.2.1.13

Combina $3$ y $\frac{- 1}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Paso 6.2.1.14

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{- 3}{4}$

Paso 6.2.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3}{4}$

Paso 6.2.2

Para escribir $- \frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 4}{16}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 12}{16}$

Paso 6.2.5.2

Resta $12$ de $3$ .

$H' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 9}{16}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$H' (- \frac{1}{2}) = - \frac{9}{16}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $- \frac{9}{16}$ .

$- \frac{9}{16}$

Paso 6.3

En $t = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{9}{16}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $H' (t) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $t$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 {(\frac{1}{2})}^{5} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 \frac{1^{5}}{2^{5}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 \frac{1}{2^{5}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - 6 (\frac{1}{32}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$H' (\frac{1}{2}) = 2 (- 3) (\frac{1}{32}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $32$ .

$H' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 16}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$H' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 16}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$H' (\frac{1}{2}) = - 3 (\frac{1}{16}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{16}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{16} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 7.2.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 (\frac{1^{3}}{2^{3}})$

Paso 7.2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 (\frac{1}{2^{3}})$

Paso 7.2.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 6 (\frac{1}{8})$

Paso 7.2.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.10.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 2 (3) (\frac{1}{8})$

Paso 7.2.1.10.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 4}))$

Paso 7.2.1.10.3

Cancela el factor común.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 4}))$

Paso 7.2.1.10.4

Reescribe la expresión.

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + 3 (\frac{1}{4})$

Paso 7.2.1.11

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3}{4}$

Paso 7.2.2

Para escribir $\frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$H' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4}{16}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12}{16}$

Paso 7.2.5.2

Suma $- 3$ y $12$ .

$H' (\frac{1}{2}) = \frac{9}{16}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{9}{16}$ .

$\frac{9}{16}$

Paso 7.3

En $t = \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{9}{16}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 1)$ .

Incremento en $(0, 1)$ ya que $H' (t) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $t$ con $2$ en la expresión.

$H' (2) = - 6 {(2)}^{5} + 6 {(2)}^{3}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$H' (2) = - 6 \cdot 32 + 6 {(2)}^{3}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $32$ .

$H' (2) = - 192 + 6 {(2)}^{3}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$H' (2) = - 192 + 6 \cdot 8$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $6$ por $8$ .

$H' (2) = - 192 + 48$

Paso 8.2.2

Suma $- 192$ y $48$ .

$H' (2) = - 144$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 144$ .

$- 144$

Paso 8.3

En $t = 2$ la derivada es $- 144$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $H' (t) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Decrecimiento en: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Paso 10