Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{6}}{\ln (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{6}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Paso 1.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{6}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5}}{\frac{1}{x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} 6 x^{5} x$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} 6 (x^{1} x^{5})$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to \infty} 6 x^{1 + 5}$

Paso 5.3

Suma $1$ y $5$ .

$lim_{x \to \infty} 6 x^{6}$

Paso 6

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\infty$